Question

（本小题满分12分）
设函数f (x)＝ln(x＋a)+x².
（Ⅰ）若当x＝1时，f (x)取得极值，求a的值，并讨论f (x)的单调性；
（Ⅱ）若f (x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln.

Answer 1

（Ⅰ）；分别在区间单调递增，在区间单调递减．
（Ⅱ），证明见解析

（Ⅰ），依题意有，故．
从而．的定义域为，
当时，；当时，；
当时，．
分别在区间单调递增，在区间单调递减．
（Ⅱ）的定义域为，．
方程的判别式．
（ⅰ）若，即，在的定义域内，故无极值．
（ⅱ）若，则或．
若，，．
当时，，
当时，，所以无极值．
若，，，也无极值．
（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．
当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．
当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
的极值之和为
.