Question

12．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其中$e=\frac{1}{2}$（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为$\frac{4}{7}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（II）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．

解答 解：（I）由条件椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，其中$e=\frac{1}{2}$（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，
故b²=a²-c²=3，
椭圆的标准方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，
设点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．
若直线AB⊥x轴，则x₁=x₂=4，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x-4）．
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ y=k（x-4）\end{array}\right.$消去y得，（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0．①
由①的判别式△=32²k⁴-4（4k²+3）（64k²-12）=144（1-4k²）＞0，
解得k²＜$\frac{1}{4}$，
x₁+x₂=$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，
由又点A，B的中点横坐标为$\frac{4}{7}$．可得$\frac{32{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}=\frac{8}{7}$
解得k²=$\frac{1}{8}$，即有k=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
y=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）．
直线l的方程：y=$±\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-4）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．