Question

17．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；
（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4$\sqrt{2}$，求直线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件求出抛物线C的方程，然后求出m值；
（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式|AB|=4$\sqrt{2}$，求直线的方程．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据抛物线定义，M到准线距离为5，因为M（3，m），
所以$\frac{p}{2}=2$，抛物线C的方程为y²=8x，$m=±2\sqrt{6}$．
（Ⅱ） 因为直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=8x}\\{y=x+b}\end{array}}\right.$，
所以y²-8y+8b=0，
$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=8}\\{{y_1}{y_2}=8b}\end{array}}\right.$，$|AB|=\sqrt{1+1}|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{2[{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}]}=\sqrt{2（64-32b）}=4\sqrt{2}$
所以$b=\frac{3}{2}$，直线为$y=x+\frac{3}{2}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力．