Question

如图，在四棱锥中，，，为正三角形，且平面平面．

（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2） ．

试题分析：（1）取的中点，然后利用矩形及正三角形的性质可证明，，从而可证明结果；（2）可考虑分别以，为轴，轴，轴建立空间直线坐标系，通过求两个平面的法向量的夹角来求二面角的余弦值．或考虑通过过点作，然后证明为所求二面角的一个平面角，再在中进行计算．
（1）证明：取的中点，连接，
∵为正三角形，∴．
又∵在四边形中，
，∴,且，
∴四边形ABCO为平行四边形，∴ ，
∴，∴．
（2）(法一)：由（1）知，且平面平面∴平面，所以分别以，为轴，轴，轴建立如图，

所示的直角坐标系，并设，则，,
∴，，，，，
∴，,,         ．
设平面，平面的法向量分别为，
则∴
∴分别取平面，平面的一个法向量，
∴，
∴二面角的余弦值为．
(法一)：由（1）知，且平面平面，∴平面，
过点作，垂足为，连接，则，于是为所求二面角的一个平面角，
设，则，，，
∴∴二面角的余弦值为．