题目内容
在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=
，则a+c的最大值为（ ）
| 3 |
A、
| ||
| B、3 | ||
C、2
| ||
| D、9 |
考点：正弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，由余弦定理可得：3=a2+c2-ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入：3=（a+c）2-3ac可得a+c的最大值．
解答：
解：2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，
∴cosB=
，
∴B=
．
∵由余弦定理可得：3=a2+c2-ac，
∴可得：3≥2ac-ac=ac
∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）2-3ac可得：（a+c）2=3+3ac≤12
∴a+c的最大值为2
．
故选：C．
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∴B=
| π |
| 3 |
∵由余弦定理可得：3=a2+c2-ac，
∴可得：3≥2ac-ac=ac
∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）2-3ac可得：（a+c）2=3+3ac≤12
∴a+c的最大值为2
| 3 |
故选：C．
点评：该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| a |
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| B、10 | ||
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| ||
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|
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