Question

已知圆C：x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，求证：
（1）无论m为何值，圆心都在同一直线l上；
（2）任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．

Answer 1

分析：（1）将圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标，再消去参数，即可得到结论；
（2）设出与直线?平行的直线的方程：x-3y+n=0，利用点到直线的距离公式表示出圆心到此直线的距离整理后发现不含有参数m故可得结论．

解答：证明：（1）圆的方程可化为：（x-3m）²+（y-m+1）²=25，圆心为（3m，m-1），r=5，
设x=3m，y=m-1，则x=3（y+1），即x-3y-3=0
∴无论m为何值，圆心都在同一直线l上，方程为x-3y-3=0；
（2）设直线x-3y+n=0
∴d=

|3m-3(m-1)+n|

10

=

|3+n|

10

∴弦长=2

25-d2

=2

25- (3+n)2 10

与m无关
∴任一条平行于l的直线，若与圆相交，则被各圆所截得的弦长都相等．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．