Question

如图1，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O-xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

图1

(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究的最小值；

(2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究的最小值；

(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究的最小值．

由以上问题，你得到了什么结论，你能证明你的结论吗？

Answer 1

答案：略
解析：

解：设正方体的棱长为a． (1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是 因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)． 当时，的最小值为，即点Q在CD的中点时，有最小值． (2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时，最短．因为当点Q为棱CD的中点时，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，取得最小值． (3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，的最小值仍然是． 证明如下：如图2，设由正方体的对称性，显然有x=y． 设P在平面OA上的射影是H．在△AOB中，所以 即有 图2 所以，点P的坐标是 由已知，可设则 当时，取得最小值，最小值是．