Question

18．已知一曲线上任一点处的切线斜率为$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，且曲线经过点（1，2），求该曲线的方程．

Answer 1

分析 设曲线上任一点为（x，y），由题意可得f′（x）=$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，即有f（x）=∫f′（x）dx=∫（$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$）dx，求得原函数，再由曲线经过点（1，2），解方程可得曲线方程．

解答 解：设曲线y=f（x）上任一点为（x，y），
由题意可得f′（x）=$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$，
即有f（x）=∫f′（x）dx=∫（$\sqrt{x}$+$\root{3}{x}$）dx
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$+$\frac{3}{4}$${x}^{\frac{4}{3}}$+C，
曲线经过点（1，2），可得$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+C=2，
解得C=$\frac{7}{12}$，
即有该曲线方程为：y=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$+$\frac{3}{4}$${x}^{\frac{4}{3}}$+$\frac{7}{12}$．

点评 本题考查曲线方程的求法，考查导数的几何意义和积分求原函数的方法，属于中档题．