Question

5．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线被椭圆C截得的弦长为$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

Answer 1

分析 由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得右焦点F（2，0）．设此直线的与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x-2）．与椭圆方程联立化为：5x²-18x+15=0，利用|AB|=$\sqrt{4[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$即可得出．

解答 解：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，可得右焦点F（2，0）．
设此直线的与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x-2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，
化为：5x²-18x+15=0，
∴x₁+x₂=$\frac{18}{5}$，x₁x₂=3．
∴|AB|=$\sqrt{4[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$2\sqrt{（\frac{18}{5}）^{2}-4×3}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．