Question

12．若双曲线的顶点为椭圆x²+$\frac{y^2}{2}$=1长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$．

Answer 1

分析 根据椭圆方程求得其长轴的端点坐标和离心率，进而可得双曲线的顶点和离心率，求得双曲线的实半轴和虚半轴的长，进而可得双曲线的方程．

解答 解：由题意设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，离心率为e
椭圆x²+$\frac{y^2}{2}$=1长轴的端点是（0，$\sqrt{2}$），∴a=$\sqrt{2}$．
∵椭圆x²+$\frac{y^2}{2}$=1的离心率为$\frac{1}{\sqrt{2}}$
∴双曲线的离心率e=$\sqrt{2}$，⇒c=2，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴双曲线的方程是$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$．
故答案为：$\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{2}=1$．

点评 本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质．