Question

1．已知f（x）=log₂（1-2x-3x²）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）解不等式f（x）-log₂（x+1）＜log₂5．

Answer 1

分析 （1）利用对数的意义得出1-2x-3x²＞0．
（2）转化为u（x）=1-2x-3x²．x∈（-1，$\frac{1}{3}$）．利用复合函数的单调性判断，注意定义域．
（3）转化为不等式组$\left\{\begin{array}{l}{1-2x-3{x}^{2}＞0}\\{x+1＞0}\\{\frac{1-2x-3{x}^{2}}{x+1}＜5}\end{array}\right.$求解得出．

解答 解：f（x）=log₂（1-2x-3x²）．
（1）∵1-2x-3x²＞0．
∴$-1＜x＜\frac{1}{3}$．
∴函数f（x）的定义域：（-1，$\frac{1}{3}$）．
（2）∵u（x）=1-2x-3x²．x∈（-1，$\frac{1}{3}$）．
∴u（x）在（-1，-$\frac{1}{3}$）单调递增，在（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）单调递减．
∴根据复合函数的单调性得出：f（x）=log₂（1-2x-3x²）的增区间为（-1，-$\frac{1}{3}$）
（3）∵f（x）-log₂（x+1）＜log₂5．
∴log₂（1-2x-3x²）-log₂（x+1）＜log₂5．
即$\left\{\begin{array}{l}{1-2x-3{x}^{2}＞0}\\{x+1＞0}\\{\frac{1-2x-3{x}^{2}}{x+1}＜5}\end{array}\right.$求解得出：$-1＜x＜\frac{1}{3}$．
不等式的解集为：{x|-1$＜x＜\frac{1}{3}$}

点评 本题考察了对数函数的性质，定义域，单调性的运用，属于化简运算较复杂的题目，但是难度不大．