Question

10．关于x的方程x²-kx+k+$\frac{1}{4}$=0的实根的绝对值都小于1，则实数k的取值范围为-$\frac{5}{8}$＜k≤2-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设f（x）=x²-kx+k+$\frac{1}{4}$，根据根与系数之间的关系建立条件关系即可．

解答 解：设f（x）=x²-kx+k+$\frac{1}{4}$，
∵方程x²-kx+k+$\frac{1}{4}$=0的实根的绝对值都小于1，
∴判别式△=k²-4（k+$\frac{1}{4}$）=k²-4k-1≥0，
解得k≥2+$\sqrt{5}$或k≤2-$\sqrt{5}$．
∴方程的两个根满足-1＜x₁＜1，-1＜x₂＜1，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{f（1）＞0}\\{f（-1）＞0}\\{-1＜-\frac{-k}{2}＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-k+k+\frac{1}{4}＞0}\\{1+k+k+\frac{1}{4}＞0}\\{-2＜k＜2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{4}＞0}\\{k＞-\frac{5}{8}}\\{-2＜k＜2}\end{array}\right.$，
即-$\frac{5}{8}$＜k＜2，
∵k≥2+$\sqrt{5}$或k≤2-$\sqrt{5}$．
∴-$\frac{5}{8}$＜k≤2-$\sqrt{5}$．
故答案为：-$\frac{5}{8}$＜k≤2-$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，将方程转化为函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键．