Question

6．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，点F是椭圆C的右焦点，经过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB的中点为M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），求直线l的方程；
（Ⅱ）设点P是直线x=1与椭圆C的一个交点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的a，b，c，得到F（1，0），由直线方程即可得到所求直线AB的方程；
（2）设出直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理，求得|x₁-x₂|²的最大值，再由三角形的面积公式可得△APB的面积为S=S_△APF+S_△BPF=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$•|x₁-x₂|，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有F（1，0），又M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
则直线AB的斜率为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-1），
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
则|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）²-4•$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
=$\frac{144（1+{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
令1+k²=t（t≥1），则|x₁-x₂|²=$\frac{144t}{（4t-1）^{2}}$=$\frac{144}{16t+\frac{1}{t}-8}$
≤$\frac{144}{16+1-8}$=16，
当t=1即k=0时，取得最大值．
又P（1，±$\frac{3}{2}$），
即有△APB的面积为S=S_△APF+S_△BPF=$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$•|x₁-x₂|≤$\frac{3}{4}$•4=3．
当k=0时，取得最大值3．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，属于中档题．