Question

已知椭圆 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．

　 (I)求椭圆的方程：

(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，并且满足OM=OA+OB，求k的值．

Answer 1

解：(I)双曲线的离心率为．∴椭圆的离心率为

∵椭圆（a>b>0）的一个顶点为A（0，1），∴b=1．

∴   ∴   ∴椭圆的方程为

(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得(1+4k²)x²+8kx=0．   

    显然这个方程有两解．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，则可解得

    ，    ∴,  

    即A(0,1),  B(,)         

   ∴ (,)

    ∴,    

将E点的坐标代入到椭圆方程中，并去分母可得

          

展开整理得       ∴  

方法二：

    (Ⅱ)过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得(1+4k²)x²+8kx=0．①   

显然这个方程有两解．设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(x，y)，则

∵OM=OA+OB    ∴(x，y)=  (x₁，y₁)+  (x₂，y₂)

∴  ,  

∵点M在C上，∴

∴

∴

∴,  即．②

又由①式知： ， ,  代入②式得,