Question

已知椭圆 (a>b>0)，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x₀，0)．证明．

Answer 1

证明见解析

解析:

本小题考查椭圆性质、直线方程等知识，以及综合分析能力．

证法一：设A、B的坐标分别为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)．因线段AB的垂直平分线与x轴相交，故AB不平行于y轴，即x₁≠x₂．又交点为P(x₀，0)，故|PA|=|PB|，即

(x₁－x₀)²+=(x₂－x₀)²+     ①

∵    A、B在椭圆上，∴， ．

将上式代入①，得2(x₂－x₁) x₀=     ②

∵    x₁≠x₂，可得         ③

∵    －a≤x₁≤a，－a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，∴  －2a<x₁+x₂<2a，

∴   

证法二：设A、B的坐标分别为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)．因P(x₀，0)在AB的垂直平分线上，以点P为圆心，|PA|=r为半径的圆P过A、B两点，圆P的方程为(x－x₀)²+y²=r²，

与椭圆方程联立，消去y得(x－x₀)²x²=r²－b²，

∴   ①

因A、B是椭圆与圆P的交点，故x₁，x₂为方程①的两个根．由韦达定理得

x₁+x₂=x₀．

因－a≤x₁≤a，－a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，故－2a<x₁+x₂=x₀<2a，

∴