Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，当x＞1时，f（x）都满足f（x）＜0，对任意正实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y）．求证：f（x）在（0，+∞）上是递减函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：由单调性的定义，设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，当x＞1时，f（x）满足f（x）＜0，则f（

x2

x1

）＜0，再由f（xy）=f（x）+f（y），得到f（x₂）＜f（x₁），即可得证．

解答： 证明：设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
当x＞1时，f（x）满足f（x）＜0，
则f（

x2

x1

）＜0，
由于f（xy）=f（x）+f（y），
则f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＜f（x₁），
即f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在（0，+∞）上是递减函数．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性的判断，注意运用定义，属于中档题．