Question

已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-4x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象讨论直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）的图象的交点个数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,二次函数的性质

专题：

分析：（1）利用奇函数定义求解转化，
（2）作出图象，根据图象讨论的答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即f（0）=0
∵当x＞0时，f（x）=x²-4x+3，
∴设x＜0时，则-x＞0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）²-4（-x）+3]
即f（x）═-x²-4x-3，x＜0
f(x)=

x2-4x+3    (x＞0) 0   (x=0)    -x2-4x-3  (x＜0)

（2）特别强调的是图中y 轴上的点（0，3），（0-3）为虚点，图中画不出虚点符号，
f（2）=-1，f（-2）=1

由图可判断直线y=k（k∈R）与函数y=f（x）的图象的交点个数：
（1）k≥3或k≤-3时，有1个交点；
（2）-3＜k＜-1或1＜k＜3时，有2个交点；        （3）k=±1时，有3个交点；
（4）-1＜k＜0或0＜k＜1时，有4个交点；         （5）k=0时，有5个交点．

点评：本题综合考查了函数的图象性质，要求的能力较高．