题目内容
2．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
分析 （1）由柯西不等式即可证明，
（2）由a3+b3=2转化为$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab，再由均值不等式可得：$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab≤（$\frac{a+b}{2}$）2，即可得到$\frac{1}{4}$（a+b）3≤2，问题得以证明．
解答 证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（$\sqrt{a•{a}^{5}}$+$\sqrt{b•{b}^{5}}$）2=（a3+b3）2≥4，
当且仅当$\sqrt{a{b}^{5}}$=$\sqrt{b{a}^{5}}$，即a=b=1时取等号，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2-ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2-3ab]=2，
∴（a+b）3-3ab（a+b）=2，
∴$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab，
由均值不等式可得：$\frac{（a+b）^{3}-2}{3（a+b）}$=ab≤（$\frac{a+b}{2}$）2，
∴（a+b）3-2≤$\frac{3（a+b）^{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．
点评 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题
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12．点P从（1，0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动$\frac{2π}{3}$弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
| A． | $（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$ | B． | $（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}）$ | C． | $（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$ | D． | $（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$ |
10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
| 最高气温 | [10，15） | [15，20） | [20，25） | [25，30） | [30，35） | [35，40） |
| 天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
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17．过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为$\sqrt{3}$的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
| A． | $\sqrt{5}$ | B． | 2$\sqrt{2}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 3$\sqrt{3}$ |
