Question

在平面直角坐标系中，倾斜角为

π

4

的直线l与曲线C：

x=2+cosα y=1+sinα

，（α为参数）交于A、B两点，且|AB|=2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：设倾斜角为

π

4

的直线l的方程为：y=x+b，将曲线C化为普通方程，即为圆，圆心为（2，1），半径为1，求出圆心到直线l的距离d，再由弦长公式2

r2-d2

，求得b，再用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得到所求方程．

解答：解：设倾斜角为

π

4

的直线l的方程为：y=tan

π

4

x+b即有y=x+b，
曲线C：

x=2+cosα y=1+sinα

，（α为参数）化为普通方程为：（x-2）²+（y-1）²=1．
则曲线C为圆，圆心为（2，1），半径为1，
则圆心到直线l的距离为d=

|2+b-1|

2

=

|1+b|

2

，
弦长|AB|=2

12- (1+b)2 2

=2，解得b=-1．
则直线l：y=x-1．
故直线l的极坐标方程为：ρ（cosθ-sinθ）=1．
故答案为：ρ（cosθ-sinθ）=1．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．