Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x= 1 2 t y= 3 2 t

（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正非负半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，圆的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求直线l被圆截得的弦长；
（Ⅱ）从极点作圆C的弦，求各弦中点的极坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）求出直线的普通方程，以及圆的普通方程，利用圆心到直线的距离以及半径半弦长的关系，求直线l被圆截得的弦长；
（Ⅱ）从极点作圆C的弦，设A（ρ₀，θ₀），弦OA的中点M（ρ，θ），列出关系式，即可求各弦中点的极坐标方程．

解答：解（Ⅰ）依题，把直线l的参数方程化为普通方程为y=

3

x，…（1分）
把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为x²+y²=4y，即x²+（y-2）²=4，…（3分）
则点C（0，2）到直线l的距离d=

2

1+3

=1，于是所求的弦长为2

22-12

=2

3

； …（5分）
（Ⅱ）记所作的弦为OA，设A（ρ₀，θ₀），弦OA的中点M（ρ，θ），
则

ρ=2ρ0 θ=θ0 ρ0=4sinθ0

，…．（8分）
消去ρ₀，θ₀，可得ρ=2sinθ即中点的极坐标方程．
【注】其他方法比照上述方法酌情给分

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．