Question

20．已知函数f（x）=e^x（ax+b）-e^xlnx
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，且b=1，求a；
（2）若b=-a，且函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f′（1）=0，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的导数，问题转化为a≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立即可，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≥1），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）b=1时，f（x）=e^x（ax+1）-e^xlnx，
f′（x）=e^x（ax-lnx+a+1-$\frac{1}{x}$），f′（1）=e（a+a-1+1）=0，
解得：a=0；
（2）若b=-a，则f（x）=e^x（ax-a）-e^xlnx，
f′（x）=e^x（ax-lnx-$\frac{1}{x}$），
若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
只需ax-lnx-$\frac{1}{x}$≥0在[1，+∞）恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$在[1，+∞）恒成立即可，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，（x≥1），
g′（x）=$\frac{x-xlnx-2}{{x}^{3}}$，
令h（x）=x-xlnx-2，（x≥1），
则h′（x）=1-（lnx+1）=-lnx＜0，
∴h（x）在[1，+∞）递减，
∴h（x）＜h（1）=-1＜0，
即x≥1时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）递减，
∴g（x）≤g（1）=1，
∴a≥1．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．