Question

9．已知△ABC的三角A，B，C成等差数列，三边a，b，c成等比数列．
（1）求角B的度数．
（2）若△ABC的面积S=$\sqrt{3}$，求边b的长．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的三角A，B，C成等差数列，2B=A+C，又A+B+C=180°，即可得出．
（2）由三边a，b，c成等比数列．可得b²=ac，利用余弦定理可得：cos60°=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，可得a=c．再利用等边三角形的面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵△ABC的三角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°．
 （2）∵三边a，b，c成等比数列．∴b²=ac，
由余弦定理可得：cos60°=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，∴$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，化为a=c．
∴△ABC是等边三角形．
∴△ABC的面积S=$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×b²，解得b=2．

点评 本题考查了余弦定理、三角形内角和定理、三角函数求值、等边三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．