Question

12．某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按图[0.0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）用样本频率代替概率，现从全校高一年级随机抽取20名学生，其中k名学生“阅读时间”在[1，2.5]小时内的概率为P（X=k），其中k=0，1，2，…20．当P（X=k）取最大时，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率，即可求图中a的值；
（Ⅱ）确定2≤m＜2.5，由0.50（m-2）=0.5-0.47，得m的值，即可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（Ⅲ）从全校高一年级随机抽取20名学生，“阅读时间”在[1，2.5]小时内的学生有X人，则X～B（20，0.6），恰好有k名学生的概率为P（X=k）=${C}_{20}^{k}•0．{6}^{k}•0．{4}^{20-k}$，其中k=0，1，2，…20．t=$\frac{P（X=k）}{P（X=k-1）}$=$\frac{3（21-k）}{2k}$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意，高一学生周末“阅读时间”在[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]的概率分别为0.04，0.08，0.20.0.25.0.07，0.04.0.02，
由1-（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5a+0.5a，∴a=0.30；
（Ⅱ）设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m小时，
因为前5组频率和为0.040.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，前4组频率和为0.47＜0.5，
所以2≤m＜2.5，
由0.50（m-2）=0.5-0.47，得m=2.06；
（Ⅲ）从全校高一年级随机抽取20名学生，“阅读时间”在[1，2.5]小时内的学生有X人，则X～B（20，0.6），恰好有k名学生的概率为P（X=k）=${C}_{20}^{k}•0．{6}^{k}•0．{4}^{20-k}$，其中k=0，1，2，…20．
t=$\frac{P（X=k）}{P（X=k-1）}$=$\frac{3（21-k）}{2k}$，
t＞1，k＜12.6，P（X=k-1）＜P（X-k），
t＜1，k＞12.6，P（X=k-1）＞P（X-k），
∴k=12，P（X=k）取最大．

点评 本题主要考查频率分步直方图，中位数，考查概率的计算，属于中档题．