Question

14．已知圆C：（x-a）²+（y-b）²=2，圆心C在曲线y=$\frac{1}{x}$（x∈[1，2]）上．则ab=1，直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]．

Answer 1

分析 由圆C：（x-a）²+（y-b）²=2，圆心C在曲线y=$\frac{1}{x}$（x∈[1，2]）上，可得ab，利用弦长公式，可得结论．

解答 解：∵圆C：（x-a）²+（y-b）²=2，圆心C在曲线y=$\frac{1}{x}$（x∈[1，2]）上，
∴ab=1，
圆心到直线的距离d=$\frac{|a+2b|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\frac{1}{b}+2b|}{\sqrt{5}}$，
∵a∈[1，2]，∴b∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴d∈[$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，$\frac{3}{\sqrt{5}}$]，
∴直线l：x+2y=0被圆C所截得的长度的取值范围是[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]
故答案为1，[$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{10}}{5}$]．

点评 本题考查直线与圆位置关系的运用，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．