题目内容
若点P是函数f（x）=
x2-lnx上任意一点，则点P到直线2x-y-2=0的最小距离为（ ）
| 3 |
| 2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
考点：点到直线的距离公式
专题：直线与圆
分析：设P（x，
x2-lnx），点P到直线2x-y-2=0的距离d=
，设g（x）=-2x+
x2-lnx+2，利用导导数性质求出[g（x）]min，由此能求出点P到直线2x-y-2=0的最小距离．
| 3 |
| 2 |
|-2x+
| ||
|
| 3 |
| 2 |
解答：
解：设P（x，
x2-lnx），点P到直线2x-y-2=0的距离：
d=
=
，
设g（x）=-2x+
x2-lnx+2，
g′（x）=-2+3x-
=
，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，
当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以[g（x）]min=g（1）=
，
dmin=
=
．
故选：D．
| 3 |
| 2 |
d=
|2x-
| ||
|
|-2x+
| ||
|
设g（x）=-2x+
| 3 |
| 2 |
g′（x）=-2+3x-
| 1 |
| x |
| (3x+1)(x-1) |
| x |
当x＞1时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
所以[g（x）]min=g（1）=
| 3 |
| 2 |
dmin=
| g(1) | ||
|
3
| ||
| 10 |
故选：D．
点评：本题考查点到直线的最小距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和导数性质的合理运用．
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| ||
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