Question

下列命题：
（1）直线x=

π

4

是函数y=sinx+cosx图象的一条对称轴；
（2）函数f（x）=x²+（3a+1）x+2a在（-∞，4）上为减函数，则实数a的取值范围是a≤3；
（3）已知函数y=4^x-2^x+2+1（-1≤x≤2），则其值域为[-3，1]；
（4）曲线y=lnx上的点到直线x-3y+3ln3=0的最短距离是

10

，其中正确的命题有

 

（请把所有正确的命题序号都填在横线上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：（1）由于函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，而f(

π

4

)=

2

sin

π

2

，即可判断出直线x=

π

4

是此图象的一条对称轴；
（2）函数f（x）=x²+（3a+1）x+2a=(x+

3a+1

2

)2+

2a-9a2-1

4

在（-∞，4）上为减函数，则4≤-

3a+1

2

，解出即可；
（3）由函数f（x）=4^x-2^x+2+1=（2^x）²-4×2^x+1=（2^x-2）²-3，（-1≤x≤2），由于f（x）在[-1，1]上单调递减；f（x）在[1，2]上单调递增，即可得出值域；
（4）设与直线x-3y+3ln3=0平行且与曲线y=lnx相切的直线为x-3y+m=0，切点为P（x₀，lnx₀），由y=lnx，y′=

1

x

，可得

1

x0

=

1

3

，解得x₀=3，切点P（3，ln3）．求出切点p到直线x-3y+3ln3=0的距离即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，而f(

π

4

)=

2

sin

π

2

=

2

，因此直线x=

π

4

是此图象的一条对称轴，正确；
（2）函数f（x）=x²+（3a+1）x+2a=(x+

3a+1

2

)2+

2a-9a2-1

4

在（-∞，4）上为减函数，则4≤-

3a+1

2

，解得a≤-3，因此实数a的取值范围是a≤-3，故不正确；
（3）由函数f（x）=4^x-2^x+2+1=（2^x）²-4×2^x+1=（2^x-2）²-3，（-1≤x≤2），∴f（x）在[-1，1]上单调递减，f（-1）=

1

4

，f（1）=-3；f（x）在[1，2]上单调递增，f（2）=1，则其值域为[-3，1]，正确；
（4）设与直线x-3y+3ln3=0平行且与曲线y=lnx相切的直线为x-3y+m=0，切点为P（x₀，lnx₀），由y=lnx，y′=

1

x

，∴

1

x0

=

1

3

，解得x₀=3，∴切点P（3，ln3）．
∴切点p到直线x-3y+3ln3=0的距离d=

|3-3ln3+3ln3|

10

=

3 10

10

，∴曲线y=lnx上的点到直线x-3y+3ln3=0的最短距离是

3 10

10

，因此不正确．
其中正确的命题有 （1）（3）．
故答案为：（1）（3）．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、二次函数的单调性、指数函数的性质、利用导数研究函数的切线、平行线之间的距离、点到直线的距离公式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．