Question

6．设函数f（x）=ax-（a+1）lnx，其中a≥-1，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求导，根据导函数的正负判断原函数的单调性，通过讨论一次函数一次项系数得出单调区间．

解答 解：由已知得函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{ax-a-1}{x}$（a≥-1），
（1）当-1≤a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
（2）当a＞0时，由f′（x）=0，解得x=1$+\frac{1}{a}$．
当x∈（0，1$+\frac{1}{a}$ ）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1$+\frac{1}{a}$ ）上单调递减．
当x∈（1$+\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1$+\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增．
综上所述：
当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当a＞0时，函数f（x）在（0，1$+\frac{1}{a}$ ）上单调递减，函数f（x）在（1$+\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增．

点评 考查了导函数应用和对一次函数分类讨论问题．