Question

19．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}，x∈[1，+∞）$
（1）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．
（2）当a＞0时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x的最小值，运用二次函数的单调性，即可得到最小值，进而得到a的范围；
（2）求得f（x）的导数，讨论0＜a＜1，a≥1，求出单调性，即可得到最小值．

解答 解：（1）对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，即为
x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x的最小值，
而x²+2x=（x+1）²-1在x∈[1，+∞）递增，即有x=1，取得最小值3，
则-a＜3，解得a＞-3：
（2）a＞0时，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
当$\sqrt{a}$≥1，即a≥1时，f（x）在[1，$\sqrt{a}$）递减，（$\sqrt{a}$，+∞）递增，
即有x=$\sqrt{a}$处取得最小值，且为2+2$\sqrt{a}$；
当$\sqrt{a}$＜1即0＜a＜1时，f（x）在[1，+∞）递增，即有x=1时取得最小值，且为3+a．
综上可得，0＜a＜1时，f（x）的最小值为a+3；a≥1时，f（x）的最小值为2+2$\sqrt{a}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法，同时考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．