Question

11．椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$上有一点P，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，且|PF₁||PF₂|=40，则△PF₁F₂的面积为8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，可得a=7，b²=24，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=5．设|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．由余弦定理可得10²=m²+n²-2mncosθ，解得cosθ，进而得出面积．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}=1$，可得a=7，b²=24，$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=5．
∵|PF₁||PF₂|=40，|PF₁|+|PF₂|=14，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．（θ∈（0，π））．
由余弦定理可得10²=m²+n²-2mncosθ=（m+n）²-2mn-2mncosθ=14²-80（1+cosθ），
解得cosθ=$\frac{1}{5}$，
∴sinθ=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}mnsinθ$=$\frac{1}{2}×40×\frac{2\sqrt{6}}{5}$=8$\sqrt{6}$，
故答案为：8$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．