Question

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

　　已知，且，，数列、满足，，，．

(1) 求证数列是等比数列；

(2) (理科)求数列的通项公式；

(3) (理科)若满足，，，试用数学归纳法证明：

．

 

Answer 1

【答案】

证明(1)∵，

∴,.

      ∵，，

      ∴

          

          

           ．

又，

　　 ∴数列是公比为3，首项为的等比数列．

解(2)(理科)依据(1)可以，得．

于是，有，即．

因此，数列是首项为，公差为1的等差数列．

故．

所以数列的通项公式是．

(3)（理科）用数学归纳法证明：

(i)当时，左边，右边，

即左边=右边，所以当时结论成立．　　

(ii)假设当时，结论成立，即．

当时，左边

                

                 ，

右边．

　　　　即左边＝右边，因此，当时，结论也成立．

根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立．

【解析】略