题目内容

（本题满分18分，其中第1小题5分，第2小题5分，第3小题8分）

在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.

（1）若，，，求方程在区间内的解集；

（2）若点是过点且法向量为的直线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；

（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.（说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.）

 

【答案】

（1）（2）（3）略

【解析】（1）由题意，

当，，时，，

，则有或，.

即或，.

又因为，故在内的解集为.

（2）由题意，的方程为.在该直线上，故.

因此，，

     所以，的值域.

又的解为0和，故要使恒成立，只需

，而，

即，所以的最大值.

（3）解：因为，设周期.

由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.

因此，根据三角函数的图像特征可知，

，.

又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，

因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，，.

（i）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；

（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有， ；因此，由可得，；

综上，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”. 

 

练习册系列答案
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（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

现有变换公式：可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程，并求出其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2） 若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3） 在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.

(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分8分，第3小题满分7分．
已知抛物线（且为常数），为其焦点．
（1）写出焦点的坐标；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，且，求直线的斜率；
（3）若线段是过抛物线焦点的两条动弦，且满足，如图所示．求四边形面积的最小值．

（本题满分18分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．

（Ⅰ）求抛物线C的方程;

（Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

（Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

 

(本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)

一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

(1) 若点为抛物线准线上

一点，点，均在该抛物线上，并且直线经

过该抛物线的焦点，证明.

(2)若点要么落在所表示的曲线上，

要么落在所表示的曲线上，并且,

试写出（不需证明）；

(3)若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

现有变换公式：可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程，并求出其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2） 若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3） 在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.

 

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