Question

已知函数f(x)＝ln x－．

(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；

(2)f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；

(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上函数y＝x2的图象恒在函数y＝f(x)图象的上方．

 

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数

（2）a＝－ （3）a≥－1

【解析】(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，

当a>0时，f′(x)>0恒成立，

故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．

(2)由f′(x)＝0得x＝－a，

①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数．

f(x)min＝f(1)＝－a＝得a＝－(舍)．

②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数．

则f(x)min＝f(e)＝1－＝得a＝－(舍)．

③当－e<a<－1时，由f′(x)＝0得x0＝－a．

当1<x<x0时，f′(x)<0，f(x)在(1，x0)上为减函数；

当x0<x<e时，f′(x)>0，f(x)在(x0，e)上为增函数．

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－．

综上知：a＝－．

(3)由题意得：x2>ln x－在(1，＋∞)上恒成立，

即a>xln x－x3在(1，＋∞)上恒成立．

设g(x)＝xln x－x3(x>1)，则

g′(x)＝ln x－3x2＋1．

令h(x)＝ln x－3x2＋1，则

h′(x)＝－6x．

当x>1时，h′(x)<0恒成立．

∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x2＋1在(1，＋∞)上为减函数，

则g′(x)<g′(1)＝－2<0．

所以g(x)在(1，＋∞)上为减函数，

∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1