Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=

a

2 n

+5a_n+6，且a₃＜13．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）令bn=

1

2an+3+1

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜

1

31

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由10S_n=

a

2 n

+5a_n+6，利用递推式可得a_n-a_n-1=5，当n=1时，10a1=

a

2 1

+5a1+6，解得a₁=2或3，通过验证可得a₁=2，利用等差数列的通项公式可得a_n．
（2）由b_n=

1

25n+1

=

1

32n+1

＜

1

32n

．再利用等比数列的前n项和公式即可证明．

解答： （1）解：∵10S_n=

a

2 n

+5a_n+6，∴当n≥2时，10Sn-1=

a

2 n-1

+5a_n-1+6，∴10an=

a

2 n

+5an-

a

2 n-1

-5an-1，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-5）=0，∴a_n-a_n-1=5，
当n=1时，10a1=

a

2 1

+5a1+6，解得a₁=2或3，
若a₁=3，则a₂=8，a₃=13，不满足a₃＜13，舍去．
若a₁=2，则a₂=7，a₃=12，满足a₃＜13．
∴a₁=2．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为5，
∴a_n=2+5（n-1）=5n-3．
（2）证明：b_n=

1

2an+3+1

=

1

25n+1

=

1

32n+1

＜

1

32n

．
∴b₁+b₂+…+b_n＜

1

32

+

1

322

+…+

1

32n

=

1 32 (1- 1 32n )

1- 1 32

=

1

31

(1-

1

32n

)＜

1

31

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推式的应用，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．