题目内容

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆 $数学公式$ 的两个焦点，P为椭圆上一点且 $数学公式$ ，则此椭圆离心率的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：设P（m，n ），由 $\text{[math]}$ 得到n²=2c²-m² ①．把P（m，n ）代入椭圆得到 b²m²+a²n²=a²b² ②，把①代入②得到 m² 的解析式，由m²≥0及m²≤a²求得 $\text{[math]}$ 的范围．
解答：设P（m，n ）， $\text{[math]}$ =（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m²-c²+n²，
∴m²+n²=2c²，n²=2c²-m² ①．
把P（m，n ）代入椭圆 $\text{[math]}$ 得 b²m²+a²n²=a²b² ②，
把①代入②得 m²= $\text{[math]}$ ≥0，∴a²b²≤2a²c²，
b²≤2c²，a²-c²≤2c²，∴ $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．
又 m²≤a²，∴ $\text{[math]}$ ≤a²，∴ $\text{[math]}$ ≤0，
a²-2c²≥0，∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
综上， $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，
故选 C．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用．

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c
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．
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，求椭圆的方程．