题目内容

已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点，P为椭圆上一点且
PF1
•
PF2
=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]
分析：设P（m，n ），由
PF1
•
PF2
=c2得到n2=2c2-m2  ①．把P（m，n ）代入椭圆得到 b2m2+a2n2=a2b2  ②，把①代入②得到 m2 的解析式，由m2≥0及m2≤a2求得
c
a
的范围．
解答：解：设P（m，n ），
PF1
•
PF2
=c2=（-c-m，-n）•（c-m，-n）=m2-c2+n2，
∴m2+n2=2c2，n2=2c2-m2  ①．
把P（m，n ）代入椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1得  b2m2+a2n2=a2b2  ②，
把①代入②得 m2=
a2b2-2a2c2
b2-a2
≥0，∴a2b2≤2a2c2，
 b2≤2c2，a2-c2≤2c2，∴
c
a
≥
3
3
．
又  m2≤a2，∴
a2b2-2a2c2
b2-a2
≤a2，∴
a2(a2-2c2)
b2-a2
≤0，
a2-2c2≥0，∴
c
a
≤
2
2
．
综上，
3
3
≤
c
a
≤
2
2
，
故选 C．
点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为θ的动直线l交椭圆于A，B两点．当θ=
π
4
时，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求椭圆的离心率及椭圆的标准方程；
（2）求△ABF2面积的最大值，并求出使面积达到最大值时直线l的方程．
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的半径为
2
3
7
c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求椭圆的标准方程．
（2013•东城区一模）已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（　　）
已知F1（-c，0），F2（c，0） （c＞0）是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，圆M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=
34
2
，求椭圆的方程．

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