题目内容

已知F1（-c，0），F2（c，0） （c＞0）是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，圆M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圆M上的任意一点，求证：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求椭圆的离心率；
（3）在（2）的条件下，若|OQ|=
34
2
，求椭圆的方程．
分析：（1）设P（x，y）是圆(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
上的任意一点，
|PF1|
|PF2|
=
(x+c)2+y2
(x-c)2+y2
=
9c2
16
-x2+
5cx
2
-
25c2
16
+x2+2cx+c2
9c2
16
-x2+
5cx
2
-
25c2
16
+x2-2cx+c2
，由此能够证明
|PF1|
|PF2|
是定值．
（2）在△F1QF2中，F1F2=2c，Q在圆上，设|QF2|=x，则|QF1|=3x，椭圆半长轴长为2x，4c2=x2+9x2-6x2×
3
5
，5c2=8x2，由此能求出e的取值范围．
（3）由x=
5
8
c，知|QF2|=
5
8
c，|QF1|=3
5
8
c|
QO
|2=
1
4
|
QF1
+
QF2
|2=
1
4
(
45
8
c2+
5
8
c2+2•
15
8
•
3
5
c2)=
17
8
c2．再由|OQ|=
34
2
，能得到所求椭圆方程．
解答：解：（1）证明：设P（x，y）是圆(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
上的任意一点，
|PF1|
|PF2|
=
(x+c)2+y2
(x-c)2+y2
=
9c2
16
-x2+
5cx
2
-
25c2
16
+x2+2cx+c2
9c2
16
-x2+
5cx
2
-
25c2
16
+x2-2cx+c2
=3
∴
|PF1|
|PF2|
=3（5分）
（2）解：在△F1QF2中，F1F2=2c，Q在圆上，设|QF2|=x，则|QF1|=3x，椭圆半长轴长为2x，
4c2=x2+9x2-6x2×
3
5
，5c2=8x2
e2=(
c
2x
)2=
2
5
，e=
10
5
．（11分）
（3）由（2）知，x=
5
8
c，即|QF2|=
5
8
c，则|QF1|=3
5
8
c|
QO
|2=
1
4
|
QF1
+
QF2
|2=
1
4
(|
QF1
|2+|
QF2
|2+2|
QF1
||
QF2
|cos∠F1QF2)=
1
4
(
45
8
c2+
5
8
c2+2•
15
8
•
3
5
c2)=
17
8
c2
由于|OQ|=
34
2
，∴c=2，进一步由e=
c
a
=
10
5
得到a2=10，b2=6
所求椭圆方程是
x2
10
+
y2
6
=1．（16分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的两个焦点，P为椭圆上一点且
PF1
•
PF2
=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（　　）
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作倾斜角为θ的动直线l交椭圆于A，B两点．当θ=
π
4
时，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求椭圆的离心率及椭圆的标准方程；
（2）求△ABF2面积的最大值，并求出使面积达到最大值时直线l的方程．
已知F1（-c，0），F2（c，0）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF2的内切圆的半径为
2
3
7
c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求椭圆的标准方程．
（2013•东城区一模）已知F1（-c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（　　）

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