Question

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁作倾斜角为60° 的直线l交椭圆于A，B两点，ABF₂的内切圆的半径为

2 3

7

c
（I）求椭圆的离心率；   
（II）若|AB|=8

2

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y=

3

(x+c)代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用S_△ABF2=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

 ×4a×

2 3

7

c，还等于三角形的周长乘以三角形内切圆的半径，由此可求出椭圆的离心率；   
（II）由知（I）知a=

2

b，c=b，|x1-x2| =

4 2 b

7

利用弦长公式|AB|，即可求出椭圆的标准方程．

解答：解：（I）设直线l的方程为y=

3

(x+c)
代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），消去y可得：（b²+3a²）x²+6a²cx+3a²c²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

6a2c

3a2+b2

，x1x2=-

3a2c2-a2b2

3a2+b2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4ab2

3a2+b2

∴|y1-y2|=

3

|x1-x2|=

4 3 ab2

3a2+b2

∵S_△ABF2=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

 ×4a×

2 3

7

c
∴

4 3 ab2

3a2+b2

=

4 3  ac

7

∴a=

2

b
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

∴椭圆的离心率e=

2

2

；   
（II）由知（I）知a=

2

b，c=b，∴|x1-x2| =

4 2 b

7

∴|AB|=

1+3

|x1-x2| =

8 2 b

7

=8

2

，
∴b=7，a=7

2

∴椭圆的标准方程为

x2

98

+

y2

49

=1．

点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，解题时，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理是关键．