Question

14．如图，A，B是单位圆O上的动点，C是圆与x轴正半轴的交点，设∠COA=α．
（1）当点A的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$时，求$\frac{cos2α}{1+sin2α}$的值．
（2）若0≤α≤$\frac{π}{3}$，且当点A，B在圆上沿逆时针方向移动时，总有∠AOB=$\frac{π}{3}$，试求BC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三角形函数线以及点A的坐标，求出sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，再根据二倍角公式，分别求出cos2α，sin2α，代入计算即可；
（2）先表示出点B的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，BC的取值范围．

解答 解：（1）∵点A的坐标为$（\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，$\frac{4}{5}$
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=2cos²α-1=-$\frac{7}{25}$，sin2α=2sinαcosα=$\frac{24}{25}$，
∴$\frac{cos2α}{1+sin2α}$=$\frac{-\frac{7}{25}}{1+\frac{24}{25}}$=-$\frac{1}{7}$
（2）∵B（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），C（1，0），
∴|BC|²=[cos（α+$\frac{π}{3}$）-1]²+sin²（α+$\frac{π}{3}$）=2-2cos（α+$\frac{π}{3}$），
∵0≤α≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$≤α+$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤cos（α+$\frac{π}{3}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴1≤2-2cos（α+$\frac{π}{3}$）≤3，
∴1≤|BC|≤$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数线的问题，二倍角的问题，以及点与点的距离公式和三角函数的图象与性质，属于基础题．