Question

6．已知x∈R，求证：cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函数f（x）的导数，得到函数f（x）的单调性，从而求出其最小值为f（0）=0，再结合函数的奇偶性证明即可．

解答 证明：令f（x）=cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$，则f′（x）=x-sinx．
当x＞0时，由单位圆中的正弦线知必有x＞sinx，
∴f′（x）＞0，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
又∵f（0）=0，且f（x）连续，
∴f（x）在区间[0，+∞]内的最小值 f（0）=0，
即f（x）≥0，得cosx-1+$\frac{{x}^{2}}{2}$≥0，
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．∵f（-x）=cos（-x）-1+$\frac{{（-x）}^{2}}{2}$=f（x），
∴f（x）为偶函数，
即当x∈（-∞，0）时，f（x）≥0仍成立．
∴对任意的x∈R，都有cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$．

点评 本题考察了不等式的证明，考察函数的单调性和奇偶性问题，是一道中档题．