题目内容

已知A（1，
sinα
sin(α+2β)
），B（
sinα
sin(α-2β)
-2，1），且
OA
•
OB
=0，sinβ≠0，sinα-kcosβ=0，则k=
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由题意可得
OA
•
OB
=
sinα
sin(α-2β)
-2+
sinα
sin(α+2β)
=0，由三角函数的知识化简可得sin22β=2sin2β•sin2α，由sinβ≠0可得2cos2β=sin2α，结合已知可得k值．
解答： 解：由题意可得
OA
•
OB
=
sinα
sin(α-2β)
-2+
sinα
sin(α+2β)
=0，
即
2
sinα
=
1
sin(α-2β)
+
1
sin(α+2β)
，
∴2sin（α-2β）•sin（α+2β）=[sin（α-2β）+sin（α+2β）]sinα，
即2sin（α-2β）•sin（α+2β）=2sin2α•cos2β，
∴cos4β-cos2α=2sin2α•cos2β，
∴cos22β-cos2α=sin2α•cos2β=sin2α-2sin2β•sin2α，
即sin22β=2sin2β•sin2α，
∵sinβ≠0，∴有2cos2β=sin2α，
∴k=
sinα
cosβ
=±
2
．
故答案为：±
2
点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角函数的公式的应用，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
计算：msin
7
2
π+ntan（-4π）+pcos
5
2
π．
（1）若
a
=（1，0），
b
=（-1，1），
c
=
a
+（
a
•
b
）
b
，求|
c
|；
（2）已知|
a
|=1，|
b
|=
3
，|
a
+
b
|=1，求
a
与
b
夹角θ的值．
已知实数x，y满足约束条件
x-y-2≤0
x+2y-5≥0
y-2≤0
，则z=
2x+y
x
的最小值是
 
．
函数y=loga（x-3）-1的图象恒过与a无关的定点
 
．
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=2，P为线段AD（含端点）上一个动点．设
AP
=x
AD
，
PB
•
PC
=y，记y=f（x），则f（1）=
 
； 函数f（x）的值域为
 
．
已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（
b
a
）．
若x，y∈R，设M=x2-2xy+3y2-x+y，则M的最小值为
 
．
在如图程序框图中，输入n=5，按程序运行后输出的结果是（　　）
A、3B、4C、5D、6

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