题目内容
13．已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$）（1）将C1的参数方程化为普通方程，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若C1与C2交于两点A、B，点P（x，y）是线段AB上的动点，求3x-y的取值范围．
分析 （1）曲线C1的参数方程中消去参数，能求出曲线C1的普通方程；利用正弦函数加法定理和曲线C2的极坐标方程能求出曲线C2的直角坐标方程．
（2）把曲线C1的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$代入$（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}$=4，能求出A、B，由此能求出3x-y的取值范围．
解答 解：（1）∵曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数，得曲线C1的普通方程为4x-3y-4$\sqrt{3}$+3=0．
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin（θ-$\frac{π}{3}$），
∴${ρ}^{2}=2ρsinθ-2\sqrt{3}cosθ$，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+${y}^{2}+2\sqrt{3}x-2y$=0，
即$（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}$=4．
（2）把曲线C1的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+\frac{3}{5}t}\\{y=1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$代入$（x+\sqrt{3}）^{2}+（y-1）^{2}$=4，
得t2=4，解得t=2或t=-2，
∴A（-$\sqrt{3}$+$\frac{6}{5}$，1+$\frac{8}{5}$），B（-$\sqrt{3}$-$\frac{6}{5}$，1-$\frac{8}{5}$），
当P与A重合时，3x-y=-3$\sqrt{3}$+$\frac{18}{5}$-1-$\frac{8}{5}$=1-3$\sqrt{3}$，
当P与B重合时，3x-y=-3$\sqrt{3}-\frac{18}{5}$-1+$\frac{8}{5}$=-3-3$\sqrt{3}$，
∴3x-y的取值范围是[-3-3$\sqrt{3}$，1-3$\sqrt{3}$]．
点评 本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用．
字词句段篇系列答案| A． | 偶函数 | B． | 奇函数 | ||
| C． | 既是奇函数又是偶函数 | D． | 既不是奇函数也不是偶函数 |
| A． | y=$\sqrt{{{（x-1）}^2}}$ | B． | y=$\root{3}{{{{（x-1）}^3}}}$ | C． | y=$\frac{{{x^2}-1}}{x+1}$ | D． | $y={（\sqrt{x-1}）^2}$ |