Question

14．某人经营一个抽奖游戏，顾客花费2元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3个球（除颜色外其他都相同），根据摸出的球的颜色情况进行兑奖，顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金a元、10元、5元、1元，若经营者将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别：A：1个黑球2个红球；B：3个红球；C：恰有1个白球；D：恰有2个白球；E：3个白球．且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次．
（1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）；
（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求a的最大值；
（3）若a=50，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值．

Answer 1

分析 （1）求出一至四等奖的概率，即可写出分别对应的类别；
（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求出分布列得到期望，即可求a的最大值；
（3）若a=50，当顾客摸出的第一个球是红球，求出他领取的奖金的期望即可．

解答 解：（Ⅰ）$P（A）=\frac{C_1^1•C_3^2}{{C_{10}^3}}=\frac{3}{{C_{10}^3}}$；
$P（B）=\frac{C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{1}{{C_{10}^3}}$；
$P（C）=\frac{C_6^1（C_1^1C_3^1+C_3^2）}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{{C_{10}^3}}$；
$P（D）=\frac{C_6^2（C_1^1+C_3^1）}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{{C_{10}^3}}$；
$P（E）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{{C_{10}^3}}$；
∵P（B）＜P（A）＜P（E）＜P（C）＜P（D），
∴中一至四等奖分别对应的类别是B，A，E，C．（4分）
（Ⅱ）设顾客进行一次游戏经营者可盈利X元，则

X	-（a-2）	-8	-3	1	2
P	$\frac{1}{{C_{10}^3}}$	$\frac{3}{{C_{10}^3}}$	$\frac{20}{{C_{10}^3}}$	$\frac{36}{{C_{10}^3}}$	$\frac{60}{{C_{10}^3}}$

∴$\frac{1}{{C_{10}^3}}$（-a+2-24-60+36+120）≥0．
∴a≤74．即a的最大值为74元．（8分）
（Ⅲ）此时中一等奖的概率${P_1}=\frac{C_2^2}{C_9^2}=\frac{1}{C_9^2}$；中二等奖的概率${P_2}=\frac{C_2^1•C_1^1}{C_9^2}=\frac{2}{C_9^2}$；
中三等奖的概率P₃=0；中四等奖的概率${P_4}=\frac{C_6^1（C_2^1+C_2^2）}{C_9^2}=\frac{18}{C_9^2}$；
∴$\frac{1}{C_9^2}$（50×1+10×2+0+1×18）=$\frac{50+38}{36}=\frac{22}{9}$元．
即此时顾客领取的奖金的平均值为$\frac{22}{9}$元．（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．