Question

19．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，当f（x）+f（x-8）≤2时，x的取值范围是（　　）

• A． （8，9]
• B． （0，8）
• C． [8，9]
• D． （8，+∞）

Answer 1

分析 令x=y=3，利用f（3）=1即可求得f（9）=2，由f（x）+f（x-8）≤2得f[x（x-8）]≤f（9），再由单调性得到不等式组，解之即可．

解答 解：∵f（3）=1，
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=2；
∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
f（xy）=f（x）+f（y），f（9）=2，
∴f（x）+f（x-8）≤2?f[x（x-8）]≤f（9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-8＞0}\\{x（x-8）≤9}\end{array}\right.$，
解得：8＜x≤9．
∴原不等式的解集为：（8，9]．
故选：A

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查解不等式组的能力，属于中档题．