Question

4．已知直线x+y+1=0与圆C：x²+y²+x-2ay+a=0交于A，B两点．
（1）若a=3，求AB的长；
（2）是否存在实数a使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）若对于任意的实数a≠$\frac{1}{2}$，圆C与直线l始终相切，求出直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）把a=3代入圆的方程，化为标准方程，求出圆心坐标和半径，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案；
（2）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，结合以线段AB为直径的圆过原点得答案；
（3）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，分直线l的斜率不存在、存在两种情况讨论求得直线l的方程．

解答 解：（1）当a=3时，圆C：x²+y²+x-6y+3=0的圆心$C（-\frac{1}{2}，3）$，半径$r=\frac{5}{2}$．
圆心C到直线x+y+1=0的距离$d=\frac{{|-\frac{1}{2}+3+1|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{7\sqrt{2}}}{4}$，
∴$AB=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{{{（\frac{5}{2}）}^2}-{{（\frac{{7\sqrt{2}}}{4}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+x-2ay+a=0}\end{array}\right.$，得2x²+（2a+3）x+3a+1=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{2a+3}{2}，{x_1}{x_2}=\frac{3a+1}{2}$，
∵以线段AB为直径的圆过原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂+x₁+x₂+1=0，
∴$2×\frac{3a+1}{2}-\frac{2a+3}{2}+1=0$，得$a=-\frac{1}{4}$．经检验符合题意；
（3）圆C：x²+y²+x-2ay+a=0的圆心$C（-\frac{1}{2}，a）$，半径$r=\frac{|2a-1|}{2}$，
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=t，则当直线l与圆C相切时，$|t+\frac{1}{2}|$=$\frac{|2a-1|}{2}$，解得t=a-1或-a，
∴所求直线方程为x=a-1或x=-a；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为kx-y+b=0，
则圆心$C（-\frac{1}{2}，a）$到直线的距离为$d=\frac{{|-\frac{1}{2}k-a+b|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{|2a-1|}{2}$，整理得${（\frac{1}{2}k+a-b）^2}={（a-\frac{1}{2}）^2}（1+{k^2}）$，
即${a^2}+2（\frac{1}{2}k-b）a+{（\frac{1}{2}k-b）^2}=（1+{k^2}）（{a^2}-a+\frac{1}{4}）$，
由题，a为任意实数且$a≠\frac{1}{2}$，故1=1+k²且$2（\frac{1}{2}k-b）=-（1+{k^2}）$，解得k=0，$b=\frac{1}{2}$，
∴所求直线方程为$y=\frac{1}{2}$．
综上，圆的切线方程为x=a-1或x=-a或$y=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查圆的方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．