Question

16．已知圆M：（x-1）²+y²=1，设A（0，t），B（0，t+6），（-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\frac{15}{2}$
• B． $\frac{29}{4}$
• C． 7
• D． $\frac{27}{4}$

Answer 1

分析 设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，推出直线AC、直线BC的方程，求出△ABC的面积S的表达式，求出面积的最大值即可．

解答 解：设AC斜率为k₁，BC斜率为k₂，则
直线AC的方程为y=k₁x+t，直线BC的方程为y=k₂x+t+6；
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y{=k}_{1}x+t}\\{y{=k}_{2}x+t+6}\end{array}\right.$，得C点的横坐标为x_c=$\frac{6}{{k}_{1}{-k}_{2}}$，
∵|AB|=t+6-t=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•$\frac{6}{{k}_{1}{-k}_{2}}$•6=$\frac{18}{{k}_{1}{-k}_{2}}$，
由于圆M与AC相切，所以$\frac{{|k}_{1}+t|}{\sqrt{1{{+k}_{1}}^{2}}}$=1，∴k₁=$\frac{1{-t}^{2}}{2t}$；
同理，k₂=$\frac{1{-（t+6）}^{2}}{2（t+6）}$，
∴k₁-k₂=$\frac{3{（t}^{2}+6t+1）}{{t}^{2}+6t}$，
∴S_△ABC=$\frac{6{（t}^{2}+6t）}{{t}^{2}+6t+1}$=6（1-$\frac{1}{{t}^{2}+6t+1}$），
∵-5≤t≤-2，∴-2≤t+3≤1，∴-8≤t²+6t+1≤-4，
∴S_△ABC的最大值为6×（1+$\frac{1}{4}$）=$\frac{15}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，三角形面积的最值问题，也考查计算能力的应用问题，是综合性题目．