题目内容
9．厦门日报讯，2016年5月1日上午，厦门海洋综合行政执法支队在公务码头启动了2016年休渔监管执法的首日行动，这标志着厦门海域正式步入为期4个半月的休渔期．某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积鱼品的净利润y万元与投入x万元之间近似满足函数关系：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（2ln2）•x，0＜x＜2}\\{alnx-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{9}{2}x，2≤x≤15}\end{array}\right.$
若投入2万元，可得到净利润为5.2万元．
（1）试求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；
（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由（参考数据：ln2=0.7，ln15=2.7）
分析 （1）由题意可得f（2）=5.2，解得a=-4，讨论2≤x≤15时，求得导数和单调区间、极值和最值；由0＜x＜2时，f（x）的单调性可得f（x）的最大值；
（2）讨论0＜x＜2时，f（x）＜0的x的范围，由f（x）在[2，15]的端点的函数值，可得f（x）＞0，即可判断企业亏本的x的范围．
解答 解：（1）由题意可知，当x=2时，f（2）=5.2，
即有aln2-$\frac{1}{4}$×22+$\frac{9}{2}$×2=5.2，解得a=-4．
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（2ln2）x，0＜x＜2}\\{-4lnx-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{9}{2}x，2≤x≤15}\end{array}\right.$．
当2≤x≤15时，f（x）=-4lnx-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{9}{2}$x，
f′（x）=-$\frac{4}{x}$-$\frac{1}{2}$x+$\frac{9}{2}$=-$\frac{（x-1）（x-8）}{2x}$，
当2＜x＜8时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当8＜x＜15时，f′（x）＜0，f（x）递减．
当2≤x≤15时，f（x）max=f（8）=-4ln8-16+36=11.6．
当0＜x＜2时，f（x）＜2×4-（2ln2）×2=5.2．
故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大；
（2）当0＜x＜2时，2x2-（2ln2）x＜0，
解得0＜x＜ln2，该企业亏本；
当2≤x≤15时，f（2）=5.2，f（15）=-4ln15-$\frac{1}{4}$×152+$\frac{9}{2}$×15=0.45＞0，
则f（x）min=f（15）=0.45＞0，
综上可得，0＜x＜ln2，即0＜x＜0.7时，该企业亏本．
点评 本题考查导数在实际问题中的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．
如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD，若PC=2，PB=1，则CD=1.2．
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB，D1C的中点分别是M，N
如图，直四棱拄ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，2AB=CD，侧面AA1D1D和侧面CC1D1D是正方形，M是侧面CC1D1D的中心．
四棱锥P-ABCD中，底面是边长为6的菱形，且∠BAD=60°，PD⊥平面ABCD，PD=8．