Question

如图，四棱锥的底面是正方形，⊥底面，点在棱上．

（1）求证：平面⊥平面；
（2）当且为的中点时，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）利用线面垂直证明面面垂直；（Ⅱ） ．

试题分析：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
又，∴平面AEC⊥平面PDB．              （6分）
（Ⅱ）方法一：如图1，设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，   
∵O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，且OE=PD，
又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，      
在Rt△AOE中，由PD=AB，
设，则，，∴，于是，
即AE与平面PDB所成角的正弦值为．               （12分）
方法二：如图2，以D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，

设，AE与平面PDB所成的角为，
则，，，，
于是，所以，
且平面的法向量，所以，
即AE与平面PDB所成角的正弦值为．               （12分）
点评：直线和平面成角的重点是研究斜线和平面成角，常规求解是采用“作、证、算”，但角不易作出时，可利用构成三条线段的本质特征求解，即分别求斜线段、射影线段、点A到平面的距离求之．