Question

计算：
（1）

2sin100°-cos70°

cos20°

；
（2）已知sin（2α-β）=

3

5

，sinβ=-

12

13

，且α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），求sinα的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的恒等变换及化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）化简可得原式=

2sin(90°+10°)-cos(60°+10°)

cos20°

，进而又诱导公式和和差角的公式化简可得；
（2）由题意和角的范围可得cos（2α-β）=

4

5

，cosβ=

5

13

，进而可得cos2α=

56

65

，而sinα=

1-cos2α 2

，代值计算可得．

解答： 解：（1）化简可得

2sin100°-cos70°

cos20°

=

2sin(90°+10°)-cos(60°+10°)

cos20°

=

2cos10°- 1 2 cos10°+ 3 2 sin10°

cos20°

=

3 ( 3 2 cos10°+ 1 2 sin10°)

cos20°

=

3 cos(30°-10°)

cos20°

=

3

；
（2）∵α∈（

π

2

，π），β∈（-

π

2

，0），∴2α-β∈（π，

5π

2

），
又sin（2α-β）=

3

5

，∴2α-β∈（2π，

5π

2

），
∴cos（2α-β）=

1-sin2(2α-β)

=

4

5

，
同理由sinβ=-

12

13

和β∈（-

π

2

，0）可得cosβ=

5

13

，
∴cos2α=cos[（2α-β）+β]
=cos（2α-β）cosβ-sin（2α-β）sinβ
=

4

5

×

5

13

-

3

5

×(-

12

13

)=

56

65

，
∴sinα=

1-cos2α 2

=

3

130

=

3 130

130

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和角的范围的确定，属中档题．