Question

17．定义在R上的函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，对于2≤s≤4，总存在t使不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）成立，求t的取值范围是（　　）

• A． [0，2]
• B． （0，2）
• C． （-∞，-2]∪[4，+∞）
• D． [-2，4]

Answer 1

分析 由题意求得f（x）在R上是减函数，f（x）的图象关于原点O对称，再根据s²-2s∈[0，8]，从而得到 t² -2t≤0，由此求得t的取值范围．

解答 解：由定义在R上的函数f（x）对任意x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，
可得f（x）在R上是减函数，
由函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，可得f（x）的图象关于原点O对称．
对于2≤s≤4，有s²-2s∈[0，8]，∵总存在t使不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）=f（t²-2t）成立，
∴t² -2t≤0，解得 0≤t≤2，
故选：A．

点评 本题主要考查函数的单调性，函数的恒成立问题，属于中档题．