Question

9．已知△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AC=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，则∠ACB=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式可求AB，进而由余弦定理可得BC，由余弦定理可得cos∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合范围∠ACB∈（0，π），即可得解∠ACB=$\frac{π}{6}$．

解答 解：∵△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AC=2，∠BAC=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×2×AB×sin$\frac{π}{3}$，可得：AB=1，
∴由余弦定理可得：BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•AC•cos∠BAC}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴由余弦定理可得：cos∠ACB=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{4+3-1}{2×2×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠ACB∈（0，π），
∴∠ACB=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理以及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．